Бляшке функция,- регулярная аналитич. функция комплексного переменного z, определенная в единичном круге 
в виде конечного пли бесконечного произведения
где n - целое неотрицательное число, 
- последовательность точек 
такая, что произведение в правой части (*) сходится (условие сходимости необходимо лишь в случае бесконечного произведения). В. п. было введено В. Бляшке [1], установившим следующее утверждение: последовательность 
точек 
определяет функцию вида (*) тогда и только тогда, когда сходится ряд 
Каждый множитель вида
наз. множителем Бляшке для 
, осуществляет однолистное конформное отображение круга Кна себя, переводящее точку 
в нуль, с нормировкой 
Множители вида 
можно интерпретировать как множители Бляшке, соответствующие нулю 
и нормировке 
.Определение множителей Бляшке и Б. круг произвольного радиуса, а также на любую одно-связную область, конформно эквивалентную кругу.
Последовательность 
(здесь n нулей), обычно выписываемая в порядке неубывания 
, является последовательностью всех нулей Б. п. (*) (каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность). Таким образом, сформулированное выше утверждение Бляшке описывает те последовательности, к-рые являются последовательностями нулей всевозможных Б. п. Произведение (*) можно рассматривать как простейшую ограниченную голоморфную в круге Кфункцию, имеющую заданную последовательность нулей. Оно сходится абсолютно и равномерно внутри К, представляет в круге Кограниченную голоморфную функцию, 
почти всюду имеет угловые граничные значения, но модулю равные 1. Для того чтобы ограниченная голоморфная функция 
была Б. п., необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
С помощью Б. теорема Бляшке: последовательность 
точек круга Кявляется последовательностью всех нулей некоторой ограниченной голоморфной в Кфункции 
тогда и только тогда, когда ряд 
сходится. При этом 
представима в виде произведения 
где 
- Б. функции 
, а 
- отличная от нуля голоморфная в Кфункция, 
, допускающая сравнительно простое интегральное представление. Кроме ограниченных функций, аналогичное факторизационное описание строится для ограниченного вида функций, Харди классов (см. [2] -[4]).
Изложенная теория получила существенное обобщение в работах М. М. Джрбашяна (см. [5], [6]), построившего бесконечные произведения более общей природы, пригодные для факторизации гораздо более широких классов мероморфных функций. Решена также задача построения аналогов Б. и. и теоремы Бляшке для двусвязных [7] и, вообще, конечносвязных [8] областей. Решение проблемы построения удобных аналогов Б.
Лит.:[l] Btaschke W., "Ber. Verhandl Sachsisch. Akad Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Kl". 1915, Bd 67, S. 194-200; [2] Пpивалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [4] Коллингвуд Э., Ловатер Д ж., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966; [6] его же, "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 4 (172), с. 3-14; [7] Касьянюк С. А., "Матем. сб.", 1957, т. 42 (84), №3, с. 301-26; [8] Тамразов П. М., "Докл. АН СССР", 1965, т. 161, № 2, с. 308-11.
П. М. Тамразов.